Historia del Calculo Diferencial

Introducción

En general el término cálculo (del latín calculus = piedra)¹ hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Antecedentes

Los grandes creadores del Cálculo diferencial fueron el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646—1716).

De manera diferente pero independientemente estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaron y generalizaron ideas y procedimientos que habían sido abordados (de diferentes maneras) y con éxito parcial desde la Antigüedad. Antes de Newton y Leibniz fueron realizados diversos aportes de importancia asociados al nombre de grandes personalidades, como por ejemplo: 

Guiles de Roberval (16O2-1675)

(Noël-Saint-Martin, Francia, 1602 _ París, 1675)

En 1630, Mersenne, propuso a sus amigos matemáticos hacer la cuadratura de la cicloide.

Esta fue llevada a cabo por Gilles Personne de Roberval en 1634, utilizando esencialmente el método de los indivisibles de Cavalieri. Recuerda que la cicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar.

En la figura 4, sea QMNS la mitad de un arco de la cicloide generada por el círculo de radio r centrado en O. El área del rectángulo QMNP es el doble del área del círculo. Construimos segmentos de línea infinitesimales horizontales, AB, con longitud determinada por la distancia horizontal entre el diámetro PQ y la circunferencia. Cada punto C de la cicloide lo sometemos a una traslación horizontal hasta el punto D, según el correspondiente segmento AB = CD, y así obtenemos la curva QRN, llamada compañera de la cicloide. Por la construcción realizada, las secciones horizontales del semicírculo y de la región comprendida entre la cicloide y su curva compañera son segmentos de igual longitud, por lo que dicha región tiene área igual a la mitad del círculo. Por otra parte, la curva compañera de la cicloide divide en dos partes iguales al rectángulo QMNP, pues, como Roberval demostró, las secciones horizontales de altura a y 2r 􀀀 a dan en cada una de las partes en que dicha curva divide al rectángulo, segmentos iguales XY y UV. Deducimos así que el área encerrada por la mitad de un arco de cicloide es pr2 + 1 2pr2 = 32 pr2. Por tanto, concluimos que el área encerrada por un arco de la cicloide es tres veces el área del círculo que la genera.

Los matemáticos no se mostraban de acuerdo acerca del valor que había que dar al método de los indivisibles. La mayoría consideraba este método sólo como un método heurístico y creían que era aún necesaria una demostración por exhausción.

Roberval (1602_1675) y Torricelli (1608 _ 1647)

En 1630 Roberval y Torricelli descubrieron independientemente un método para calcular tangentes por medio de consideraciones cinemáticas. Este método se apoya en dos ideas básicas: la primera es la de considerar una curva como la trayectoria de un punto móvil que obedece a dos movimientos simultáneamente, y la segunda es la de considerar la tangente en un punto de

la curva como la dirección del movimiento en ese mismo punto. Si la razón entre las velocidades de los dos movimientos es conocida, la dirección del movimiento resultante se puede hallar mediante la ley del paralelogramo.

Johannes Kepler (1571--1630)

                 Casamiento y barriles de vino. Kepler parece haberse casado con su primer esposa, Barbara, por amor (a pesar de que el casamiento fue acordado mediante un intermediario). El segundo casamiento, en 1613, fué una cuestión de necesidad práctica; precisaba alguien para encargarse de sus hijos. La nueva esposa de Kepler, Susana, tuvo un curso acelerado sobre el carácter de Kepler: en la carta dedicatoria al libro de casamiento explica que en la celebración de la boda el notó que los volúmenes de los barriles de vino eran estimados mediante una vara introducida en forma diagonal, por el agujero de la tapa, y comenzó a preguntarse como podría funcionar eso. El resultado fue el estudio de los volúmenes de los sólidos de revolución ( New stereometry of wine barrels ..., Nova sterometria doliorum ...,Linz, 1615) en la cual Kepler, basándose en el trabajo de Arquímedes, utilizó la resolución en `indivisibles'. Este método fue luego desarrollado por Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) y es parte de la historia ancestral del cálculo infinitesimal.

 René Descartes (l596-~1650)

René Descartes (1596-1650), conocido por los matemáticos como, el inventor de la geometría analítica, y por los filósofos como el iniciador del racionalismo, también contribuyó a la solución de algunos problemas en el cálculo de tangentes. A diferencia de Fermat, su método tuvo un carácter algebraico, mas no infinitesimal, utilizando una circunferencia centrada en el eje x, y con radio perpendicular a la tangente de la curva en un punto dado. Mencionamos este enfoque aquí, para resaltar la existencia de otra alternativa diferente al uso del cálculo infinitesimal para la determinación de tangentes. No es del caso entrar aquí en detalles sobre el método de Descartes, pero su descripción y ejemplos pueden verse en la obra de Edwards previamente citada.

 

 Pierre de Fermat (1601—1665)

 (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 1601 _ Castres, Francia, 1665

La cuadratura de las curvas definidas por y = xn donde n es un número natural o bien un entero negativo n 6= fi1, había sido realizada para n = 1, 2 . . . , 9 por Cavalieri, aunque podemos remontarnos hasta Arquímedes que había resuelto geométricamente los casos correspondientes a n = 1, 2, 3. Fermat, con una ingeniosa idea, logró obtener la cuadratura de áreas limitadas por arcos de hipérbolas generalizadas xnym = 1 (m, n 2 N). Fermat seguía un método clásico de exhausción, pero con una idea feliz que consistió en considerar rectángulos infinitesimales inscritos en la figura a cuadrar cuyas bases estaban en progresión geométrica. Fermat considera al principio las hipérbolas yxn = k y manifiesta: Digo que todas estas infinitas hipérbolas, excepto la de Apolonio, que es la primera, pueden ser cuadradas por el método de la progresión geométrica, de acuerdo a un procedimiento uniforme general.

 Galileo Galilei (1564--1642),

Galileo quería demostrar que la aceleración es la misma para todos los cuerpos en caída libre. Ya vimos cómo llegó a formular la función que relaciona el espacio recorrido con el tiempo:

 s (t) = C· t ²

Pero para conseguir su propósito, pensemos en todo lo que aún le faltaba:

Había que comenzar por plantearse: ¿qué es la aceleración? ... el ritmo de cambio de la velocidad.

Lo cual nos lleva a otra pregunta: ¿qué es la velocidad? ... el ritmo de cambio de la posición del cuerpo (del espacio recorrido)

*Así que, era necesario estudiar el ritmo de cambio de una función (años más tarde se le llamaría derivada

John Wallis (1616--1703, amigo de Newton),

(Ashford, Reino Unido, 1616 _ Oxford, 1703)

John Wallis (1616 - 1703) publicó en 1655 un tratado Arithmetica infinitorum (_La Aritmética de los infinitos) en el que aritmetizaba el método de los indivisibles de Cavalieri. Para ilustrar el método de Wallis consideremos el problema de calcular el área bajo la curva y = xk (k = 1, 2, . . . ) y sobre el segmento [0, a] (ver figura (6)). Siguiendo a Cavalieri, Wallis considera la región PQR formada por un número infinito de líneas verticales paralelas, cada una de ellas con longitud igual a xk. Por tanto, si dividimos el segmento PQ = AB = a en n partes de longitud h = a/n, donde n es infinito, entonces la suma de estas infinitas líneas es del tipo 0k + hk + (2h)k + (3h)k + _ _ _ + (nh)k (3)

Análogamente, el área del rectángulo ABCD es ak + ak + ak + _ _ _ + ak = (nh)k + (nh)k + (nh)k + _ _ _ + (nh)k (4) La razón entre el área de la región PQR y el rectángulo ABCD es

Esto lleva a Wallis a estudiar el valor de la expresión (5) para n = ¥1. Después de estudiar varios casos para valores de k = 1, 2, 3 haciendo, en cada caso, sumas para distintos valores de n = 1, 2, 3, 4, Wallis observa ciertas regularidades en las mismas y, con tan débil base, acaba afirmando que para n = ¥ y para todo k = 1, 2, . . . , se verifica que:

Naturalmente, de aquí deduce el valor del área de la región PQR:

Este resultado ya era conocido anteriormente, pero Wallis no se paraba aquí y extendía la validez de la igualdad (6) a todos los exponentes racionales positivos. Su peculiar razonamiento tiene interés pues en él se basó Newton para obtener la serie binomial. Lo esencial del mismo puede resumirse, en términos actuales, como sigue. Definamos el índice, s( f ), de una función f mediante la igualdad

suponiendo que dicho límite tenga sentido. Por ejemplo, (6) nos dice que el índice de la función fk(x) = xk es s( fk) = k para k = 1, 2, . . . . 1Fue precisamente Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del _lazo del amor_, ¥, con el significado de _infinito_. Wallis observó que, dada una progresión geométrica de potencias de x como, por ejemplo 1, x3, x5, x7, . . . , la correspondiente sucesión de índices 0, 3, 5, 7, . . . forman una progresión aritmética. Como s( fk) = k, esta observación es trivial, pero le permite dar un atrevido salto adelante, de manera que mediante una audaz interpolación establece (sin demostración) que una conclusión análoga puede deducirse para la progresión geométrica

de manera que la sucesión de sus índices debe formar una progresión aritmética, de donde se sigue que debe ser

De esta forma obtiene que

Wallis estaba convencido de la validez de su método, conocido posteriormente como interpolación de Wallis, que tuvo importancia en el siglo XVIII. Puede considerarse como un intento de resolver el siguiente problema: Dada una sucesión Pk, definida para valores enteros de k, encontrar el significado de Pa cuando a no es un número entero. Además, Wallis deduce que necesariamente debe ser

Será Newton, poco más tarde, quien siguiendo los pasos de Wallis, introducirá el uso de potencias fraccionarias y negativas. Wallis, incluso llega a afirmar que la igualdad

no es válida solamente para exponentes r racionales, sino también para otros como 

p

3

pero, naturalmente, no puede dar ninguna justi_cación.

Obtenida, a su manera, la cuadratura fundamental (9), Wallis intenta calcular la integral

Dicha integral representa el área bajo la semicircunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2, su valor es, por tanto, p/8. Wallis quería obtener dicho resultado evaluando directamente la integral. No tuvo éxito en este empeño que Newton habría de resolver posteriormente, pero sus resultados le llevaron a obtener la llamada fórmula de Wallis

 BonaventuraCavalierí (1598--1647, discípulo de Galileo)

Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647), discípulo de Galileo y profesor en la Universidad de Bolonia, publicó en 1635 un tratado Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova quadam Ratione Promota en el que, siguiendo ideas de Kepler y Galileo, desarrolló una técnica geométrica para calcular cuadraturas, llamada método de los indivisibles. En este método, un área de una región plana se considera formada por un número infinito de segmentos paralelos, cada uno de ellos se interpreta como un rectángulo infinitamente estrecho; un volumen se considera compuesto por un número infinito de áreas planas paralelas. A estos elementos los llama los indivisibles de área y volumen respectivamente. En líneas generales los indivisibilistas mantenían, como expresa Cavalieri en sus Exercitationes Geometricae Sex (1647), que una línea está hecha de puntos

como una sarta de cuentas; el plano está hecho de líneas, como un tejido de hebras y un sólido de áreas planas como un libro de hojas.

La forma en que se aplicaba el método o principio de Cavalieri puede ilustrarse como sigue.

Universidad de Granada

Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez

Cálculo diferencial e integral

La forma en que se aplicaba el método o principio de Cavalieri puede ilustrarse como sigue. Para demostrar que el paralelogramo ABCD tiene área doble que cualquiera de los triángulos ABD o BCD, hace notar que cuando GD = BE, se tiene que GH = FE. Por tanto los triángulos ABD y BCD están constituidos por igual número de líneas iguales, tales como GH y EF, y por tanto sus áreas deben ser iguales.

Isaac Barrow (1630--1677, maestro de Newton).

Isaac Barrow (1630 - 1677) también dio un método para calcular tangentes. Barrow era un admirador de los geómetras antiguos y editó las obras de Euclides, Apolonio y de Arquímedes, a la vez que publicaba sus propias obras Lectiones Opticae (1669) y Lectiones Geometricae (1670) en la edición de las cuales colaboró Newton. El tratado Lectiones Geometricae se considera una de las principales aportaciones al Cálculo. En él Barrow quiso hacer una puesta al día de todos los últimos descubrimientos, principalmente de problemas de tangentes y cuadraturas. Barrow hace un tratamiento detallado de todos estos problemas incluyendo conceptos como tiempo y movimiento y usando métodos in_nitesimales y métodos de indivisibles.

Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII. El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

El siglo XVII creación del cálculo

En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, Pascal^[] y, finalmente, Leibniz y Newton^[] con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo. El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real.

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

Encontrar la tangente a una curva en un punto.

Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Isaac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta difícil imaginar que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de límite y ni siquiera de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época post-renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano.

Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.

La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde.

La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.

El siglo XVIII

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".

Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

El siglo XIX

Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).

Siglo XX y nuestros días

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo.

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstractas encuentra aplicación.